함수 정의 예제

새로운 함수는 다른 함수의 조합(여러 가지 의미에서)으로 구성할 수 있습니다. 일부 조합은 놀라운 결과를 낳습니다. 예를 들어, 첫눈에 이해할 수 없는 표현 앞의 예에서 한 선택, 양수 제곱근은 다른 선택보다 더 자연적입니다. 이것은 일반적으로 사실이 아닙니다. 예를 들어 y를 x 3- 3 x – y = 0 {displaystyle x^{3}-3x-y=0}의 루트 x에 매핑하는 암시적 함수를 생각해 보겠습니다(오른쪽 그림 참조). y = 0의 경우 0, 3, 또는 3 {디스플레이 스타일 0,{sqrt {3},{text{또는 }}-{sqrt {3}}}를 선택할 수 있습니다. 암시적 함수 정리에 의해 각 선택 사항은 함수를 정의합니다. 첫 번째 도메인의 경우, (최대) 도메인은 간격 [-2, 2] 이고 이미지는 [-1, 1]; 두 번째 도메인의 경우 도메인은 [-2, ∞)이고 이미지는 [1, ∞) 마지막 도메인의 경우 도메인은 (-∞, 2] 이고 이미지는 (-∞, -1]입니다. 세 개의 그래프가 함께 매끄러운 곡선을 형성하고 한 가지 선택을 선호할 이유가 없기 때문에 이 세 함수는 종종 -2 < y < 2에 대한 세 가지 값을 가지며 y ≤2 및 y ≥-2에 대한 하나의 값만 있는 y의 단일 다중 값 함수로 간주됩니다.

함수는 원래 다양한 수량이 다른 수량에 의존하는 방식의 이상화였습니다. 예를 들어, 행성의 위치는 시간의 함수입니다. 역사적으로, 개념은 17 세기 말에 무한한 미적분으로 정교하고, 19 세기까지, 고려 된 기능은 차별화되었다 (즉, 그들은 규칙성의 높은 수준을 했다). 기능의 개념은 세트 이론의 관점에서 19 세기 말에 공식화되었다, 이것은 크게 개념의 응용 프로그램의 도메인을 확대. 명시적 함수는 함수가 x에서 y로 직접 이동하는 방법을 보여 주면 도메인 과 codomain 집합이 동일하고 출력 값이 전체 도메인에 동의하는 경우 두 함수 f와 g가 동일합니다. 공식적으로, f = g 경우 f (x) = g (x) 모든 x에 대한 , 여기서 f : X → Y및 g : X → Y :6][7][참고 2] 그래서, 함수 숫자를 만드는 것은 무엇입니까? 이미 언급했듯이 구별은 느슨하지만 대수 수식을 통해 정의되는 경우 대부분 함수를 숫자로 간주합니다. 정의에서 두 쌍을 이루는 집합만 숫자로 구성되도록 요구하는 보다 광범위한 규칙은 숫자만 서로 명목상으로 관련되고 숫자 집합에 대해 정의된 필수 속성을 얻지 못하는 함수를 허용합니다. 지금, 이 시점에서 당신은 아마 우리가 관계에 대한 관심과 좋은 질문입니다 왜 그냥 물어. 일부 관계는 매우 특별하며 거의 모든 수준의 수학에서 사용됩니다. 다음 정의는 이러한 특별한 관계인 관계만 알려줍니다. Ex 4.1.7 $f콜론 C에서 D$, $g콜론 B에서 C$로, $hcolon A에서 B$가 함수라고 가정합니다. 증명 $(fcirc g)circ h=fcirc (gcirc h)$.

첫째, 몇 가지 정의를 얻을 필요가 있습니다. 함수는 구가 함수 기계에 들어가고 큐브가 나오는 위의 그림에서 제안한 대로 입력과 는 완전히 다른 유형의 개체를 출력할 수 있습니다. 도메인 $X$이 다시 사람 집합이지만 공동 도메인이 숫자 집합인 함수를 정의할 수 있습니다. 모든 x {디스플레이 스타일 x} x {디스플레이 스타일 X} 및 y , z {디스플레이 스타일 y, z} Y {디스플레이 스타일 Y} 에 대해 . 단일 성관계는 도메인이 X의 하위 집합인 codomain Y , {displaystyle Y,} 함수가 있는 함수로 식별될 수 있습니다.